递归
你好,递归!
前面的章节中我们简要谈了一下递归。而在本章,我们会深入地了解到它为何在 Haskell 中是如此重要,能够以递归思想写出简洁优雅的代码。
如果你还不知道什么是递归,就读这个句子。哈哈!开个玩笑而已!递归实际上是定义函数以调用自身的方式。在数学定义中,递归随处可见,如斐波那契数列 (fibonacci)。它先是定义两个非递归的数:F(0)=0,F(1)=1
,表示斐波那契数列的前两个数为 0 和 1。然后就是对其他自然数,其斐波那契数就是它前面两个数字的和,即 F(N)=F(N-1)+F(N-2)
。这样一来,F(3)
就是 F(2)+F(1)
,进一步便是 (F(1)+F(0))+F(1)
。已经下探到了前面定义的非递归斐波那契数,可以放心地说 F(3)
就是 2 了。在递归定义中声明的一两个非递归的值(如 F(0)
和 F(1)
) 也可以称作边界条件,这对递归函数的正确求值至关重要。要是前面没有定义 F(0)
和 F(1)
的话,它下探到 0 之后就会进一步到负数,你就永远都得不到结果了。一不留神它就算到了 F(-2000)=F(-2001)+F(-2002)
,并且永远都算不到头!
递归在 Haskell 中非常重要。命令式语言要求你提供求解的步骤,Haskell 则倾向于让你提供问题的描述。这便是 Haskell 没有 while
或 for
循环的原因,递归是我们的替代方案。
实作 Maximum
maximum
函数取一组可排序的 List(属于 Ord Typeclass) 做参数,并回传其中的最大值。想想,在命令式风格中这一函数该怎么实现。很可能你会设一个变量来存储当前的最大值,然后用循环遍历该 List,若存在比这个值更大的元素,则修改变量为这一元素的值。到最后,变量的值就是运算结果。唔!描述如此简单的算法还颇费了点口舌呢!
现在看看递归的思路是如何:我们先定下一个边界条件,即处理单个元素的 List 时,回传该元素。如果该 List 的头部大于尾部的最大值,我们就可以假定较长的 List 的最大值就是它的头部。而尾部若存在比它更大的元素,它就是尾部的最大值。就这么简单!现在,我们在 Haskell 中实现它
如你所见,模式匹配与递归简直就是天造地设!大多数命令式语言中都没有模式匹配,于是你就得造一堆 if-else 来测试边界条件。而在这里,我们仅需要使用模式将其表示出来。第一个模式说,如果该 List 为空,崩溃!就该这样,一个空 List 的最大值能是啥?我不知道。第二个模式也表示一个边缘条件,它说, 如果这个 List 仅包含单个元素,就回传该元素的值。
现在是第三个模式,执行动作的地方。 通过模式匹配,可以取得一个 List 的头部和尾部。这在使用递归处理 List 时是十分常见的。出于习惯,我们用个 where
语句来表示 maxTail
作为该 List 中尾部的最大值,然后检查头部是否大于尾部的最大值。若是,回传头部;若非,回传尾部的最大值。
我们取个 List [2,5,1]
做例子来看看它的工作原理。当调用 maximum'
处理它时,前两个模式不会被匹配,而第三个模式匹配了它并将其分为 2
与 [5,1]
。 where
子句再取 [5,1]
的最大值。于是再次与第三个模式匹配,并将 [5,1]
分割为 5
和 [1]
。继续,where
子句取 [1]
的最大值,这时终于到了边缘条件!回传 1
。进一步,将 5
与 [1]
中的最大值做比较,易得 5
,现在我们就得到了 [5,1]
的最大值。再进一步,将 2
与 [5,1]
中的最大值相比较,可得 5
更大,最终得 5
。
改用 max
函数会使代码更加清晰。如果你还记得,max
函数取两个值做参数并回传其中较大的值。如下便是用 max
函数重写的 maximun'
太漂亮了!一个 List 的最大值就是它的首个元素与它尾部中最大值相比较所得的结果,简明扼要。
来看几个递归函数
现在我们已经了解了递归的思路,接下来就使用递归来实现几个函数. 先实现下 replicate
函数, 它取一个 Int
值和一个元素做参数, 回传一个包含多个重复元素的 List, 如 replicate 3 5
回传 [5,5,5]
. 考虑一下, 我觉得它的边界条件应该是负数. 如果要 replicate
重复某元素零次, 那就是空 List. 负数也是同样, 不靠谱.
在这里我们使用了 guard 而非模式匹配, 是因为这里做的是布林判断. 如果 n
小于 0 就回传一个空 List, 否则, 回传以 x
作首个元素并后接重复 n-1
次 x
的 List. 最后, (n-1)
的那部分就会令函数抵达边缘条件.
接下来实现 take
函数, 它可以从一个 List 取出一定数量的元素. 如 take 3 [5,4,3,2,1]
, 得 [5,4,3]
. 若要取零或负数个的话就会得到一个空 List. 同样, 若是从一个空 List中取值, 它会得到一个空 List. 注意, 这儿有两个边界条件, 写出来:
首个模式辨认若为 0 或负数, 回传空 List. 同时注意这里用了一个 guard 却没有指定 otherwise
部分, 这就表示 n
若大于 0, 会转入下一模式. 第二个模式指明了若试图从一个空 List 中取值, 则回传空 List. 第三个模式将 List 分割为头部和尾部, 然后表明从一个 List 中取多个元素等同于令 x
作头部后接从尾部取 n-1
个元素所得的 List. 假如我们要从 [4,3,2,1]
中取 3 个元素, 试着从纸上写出它的推导过程
reverse
函数简单地反转一个 List, 动脑筋想一下它的边界条件! 该怎样呢? 想想...是空 List! 空 List 的反转结果还是它自己. Okay, 接下来该怎么办? 好的, 你猜的出来. 若将一个 List 分割为头部与尾部, 那它反转的结果就是反转后的尾部与头部相连所得的 List.
继续下去!
Haskell 支持无限 List,所以我们的递归就不必添加边界条件。这样一来,它可以对某值计算个没完, 也可以产生一个无限的数据结构,如无限 List。而无限 List 的好处就在于我们可以在任意位置将它断开.
repeat
函数取一个元素作参数, 回传一个仅包含该元素的无限 List. 它的递归实现简单的很, 看:
调用 repeat 3
会得到一个以 3 为头部并无限数量的 3 为尾部的 List, 可以说 repeat 3
运行起来就是 3:repeat 3
, 然后 3:3:3:3
等等. 若执行 repeat 3
, 那它的运算永远都不会停止。而 take 5 (repeat 3)
就可以得到 5 个 3, 与 replicate 5 3
差不多.
zip
取两个 List 作参数并将其捆在一起。zip [1,2,3] [2,3]
回传 [(1,2),(2,3)]
, 它会把较长的 List 从中间断开, 以匹配较短的 List. 用 zip
处理一个 List 与空 List 又会怎样? 嗯, 会得一个空 List, 这便是我们的限制条件, 由于 zip
取两个参数, 所以要有两个边缘条件
前两个模式表示两个 List 中若存在空 List, 则回传空 List. 第三个模式表示将两个 List 捆绑的行为, 即将其头部配对并后跟捆绑的尾部. 用 zip
处理 [1,2,3]
与 ['a','b']
的话, 就会在 [3]
与 []
时触及边界条件, 得到 (1,'a'):(2,'b'):[]
的结果,与 [(1,'a'),(2,'b')]
等价.
再实现一个标准库函数 -- elem
! 它取一个元素与一个 List 作参数, 并检测该元素是否包含于此 List. 而边缘条件就与大多数情况相同, 空 List. 大家都知道空 List 中不包含任何元素, 便不必再做任何判断
这很简单明了。若头部不是该元素, 就检测尾部, 若为空 List 就回传 False
.
"快速"排序
假定我们有一个可排序的 List, 其中元素的型别为 Ord Typeclass 的成员. 现在我们要给它排序! 有个排序算法非常的酷, 就是快速排序 (quick sort), 睿智的排序方法. 尽管它在命令式语言中也不过 10 行, 但在 Haskell 下边要更短, 更漂亮, 俨然已经成了 Haskell 的招牌了. 嗯, 我们在这里也实现一下. 或许会显得很俗气, 因为每个人都用它来展示 Haskell 究竟有多优雅!
它的型别声明应为 quicksort :: (Ord a) => [a] -> [a]
, 没啥奇怪的. 边界条件呢? 如料,空 List。排过序的空 List 还是空 List。接下来便是算法的定义:排过序的 List 就是令所有小于等于头部的元素在先(它们已经排过了序), 后跟大于头部的元素(它们同样已经拍过了序)。 注意定义中有两次排序,所以就得递归两次!同时也需要注意算法定义的动词为"是"什么而非"做"这个, "做"那个, 再"做"那个...这便是函数式编程之美!如何才能从 List 中取得比头部小的那些元素呢?List Comprehension。好,动手写出这个函数!
小小的测试一下, 看看结果是否正确~
booyah! 如我所说的一样! 若给 [5,1,9,4,6,7,3]
排序,这个算法就会取出它的头部,即 5。 将其置于分别比它大和比它小的两个 List 中间,得 [1,4,3] ++ [5] ++ [9,6,7]
, 我们便知道了当排序结束之时,5会在第四位,因为有3个数比它小,也有三个数比它大。好的,接着排 [1,4,3]
与 [9,6,7]
, 结果就出来了!对它们的排序也是使用同样的函数,将它们分成许多小块,最终到达临界条件,即空 List 经排序依然为空,有个插图:
橙色的部分表示已定位并不再移动的元素。从左到右看,便是一个排过序的 List。在这里我们将所有元素与 head
作比较,而实际上就快速排序算法而言,选择任意元素都是可以的。被选择的元素就被称作锚 (pivot
),以方便模式匹配。小于锚的元素都在浅绿的部分,大于锚都在深绿部分,这个黄黄的坡就表示了快速排序的执行方式:
用递归来思考
我们已经写了不少递归了,也许你已经发觉了其中的固定模式:先定义一个边界条件,再定义个函数,让它从一堆元素中取一个并做点事情后,把余下的元素重新交给这个函数。 这一模式对 List、Tree 等数据结构都是适用的。例如,sum
函数就是一个 List 头部与其尾部的 sum
的和。一个 List 的积便是该 List 的头与其尾部的积相乘的积,一个 List 的长度就是 1 与其尾部长度的和. 等等
再者就是边界条件。一般而言,边界条件就是为避免进程出错而设置的保护措施,处理 List 时的边界条件大部分都是空 List,而处理 Tree 时的边界条件就是没有子元素的节点。
处理数字时也与之相似。函数一般都得接受一个值并修改它。早些时候我们编写过一个计算 Factorial 的函数,它便是某数与它减一的 Factorial 数的积。让它乘以零就不行了, Factorial 数又都是非负数,边界条件便可以定为 1,即乘法的单比特。 因为任何数乘以 1 的结果还是这个数。而在 sum
中,加法的单比特就是 0。在快速排序中,边界条件和单比特都是空 List,因为任一 List 与空 List 相加的结果依然是原 List。
使用递归来解决问题时应当先考虑递归会在什么样的条件下不可用, 然后再找出它的边界条件和单比特, 考虑参数应该在何时切开(如对 List 使用模式匹配), 以及在何处执行递归.
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