高阶函数

Haskell 中的函数可以接受函数作为参数也可以返回函数作为结果，这样的函数就被称作高阶函数。高阶函数可不只是某简单特性而已，它贯穿于 Haskell 的方方面面。要拒绝循环与状态的改变而通过定义问题"是什么"来解决问题，高阶函数必不可少。它们是编码的得力工具。

Curried functions

本质上，Haskell 的所有函数都只有一个参数，那么我们先前编那么多含有多个参数的函数又是怎么回事? 呵，小伎俩! 所有多个参数的函数都是 Curried functions。 什么意思呢? 取一个例子最好理解，就拿我们的好朋友 max 函数说事吧。它看起来像是取两个参数，回传较大的那个数。 实际上，执行 max 4 5 时，它会首先回传一个取一个参数的函数，其回传值不是 4 就是该参数，取决于谁大。 然后，以 5 为参数调用它，并取得最终结果。 这听着挺绕口的，不过这一概念十分的酷! 如下的两个调用是等价的：

ghci> max 4 5
5
ghci> (max 4) 5
5

把空格放到两个东西之间，称作_函数调用_。它有点像个运算符，并拥有最高的优先级。 看看 max 函数的型别: max :: (Ord a) => a -> a -> a。 也可以写作: max :: (Ord a) => a -> (a -> a)。 可以读作 max 取一个参数 a，并回传一个函数(就是那个 ->)，这个函数取一个 a 型别的参数，回传一个a。 这便是为何只用箭头来分隔参数和回传值型别。

这样的好处又是如何? 简言之，我们若以不全的参数来调用某函数，就可以得到一个_不全调用_的函数。 如果你高兴，构造新函数就可以如此便捷，将其传给另一个函数也是同样方便。

看下这个函数，简单至极:

multThree :: (Num a) => a -> a -> a -> a
multThree x y z = x * y * z

我们若执行 mulThree 3 5 9 或 ((mulThree 3) 5) 9，它背后是如何运作呢？ 首先，按照空格分隔，把 3 交给 mulThree。 这回传一个回传函数的函数。 然后把 5 交给它，回传一个取一个参数并使之乘以 15 的函数。 最后把 9 交给这一函数，回传 135。 想想，这个函数的型别也可以写作 multThree :: (Num a) => a -> (a -> (a -> a))，-> 前面的东西就是函数取的参数，后面的东西就是其回传值。所以说，我们的函数取一个 a，并回传一个型别为 (Num a) => a -> (a -> a) 的函数，类似，这一函数回传一个取一个 a，回传一个型别为 (Num a) => a -> a 的函数。 而最后的这个函数就只取一个 a 并回传一个 a，如下:

ghci> let multTwoWithNine = multThree 9
ghci> multTwoWithNine 2 3
54
ghci> let multWithEighteen = multTwoWithNine 2
ghci> multWithEighteen 10
180

前面提到，以不全的参数调用函数可以方便地创造新的函数。例如，搞个取一数与 100 比较大小的函数该如何? 大可这样:

compareWithHundred :: (Num a, Ord a) => a -> Ordering
compareWithHundred x = compare 100 x

用 99 调用它，就可以得到一个 GT。 简单。 注意下在等号两边都有 x。 想想 compare 100 会回传什么？一个取一数与 100 比较的函数。 Wow，这不正是我们想要的? 这样重写:

compareWithHundred :: (Num a, Ord a) => a -> Ordering
compareWithHundred = compare 100

型别声明依然相同，因为 compare 100 回传函数。compare 的型别为 (Ord a) => a -> (a -> Ordering)，用 100 调用它后回传的函数型别为 (Num a, Ord a) => a -> Ordering，同时由于 100 还是 Num 型别类的实例，所以还得另留一个类约束。

Yo! 你得保证已经弄明白了 Curried functions 与不全调用的原理，它们很重要！

中缀函数也可以不全调用，用括号把它和一边的参数括在一起就行了。 这回传一个取一参数并将其补到缺少的那一端的函数。 一个简单函数如下:

divideByTen :: (Floating a) => a -> a
divideByTen = (/10)

调用 divideByTen 200 就是 (/10) 200，和 200 / 10 等价。

一个检查字符是否为大写的函数:

isUpperAlphanum :: Char -> Bool
isUpperAlphanum = (`elem` ['A'..'Z'])

唯一的例外就是 - 运算符，按照前面提到的定义，(-4) 理应回传一个并将参数减 4 的函数，而实际上，处于计算上的方便，(-4) 表示负 4。 若你一定要弄个将参数减 4 的函数，就用 subtract 好了，像这样 (subtract 4).

若不用 let 给它命名或传到另一函数中，在 ghci 中直接执行 multThree 3 4 会怎样?

ghci> multThree 3 4
:1:0:
No instance for (Show (t -> t))
arising from a use of `print' at :1:0-12
Possible fix: add an instance declaration for (Show (t -> t))
In the expression: print it
In a 'do' expression: print it

ghci 说，这一表达式回传了一个 a -> a 型别的函数，但它不知道该如何显示它。 函数不是 Show 型别类的实例，所以我们不能得到表示一函数内容的字串。 若在 ghci 中计算 1+1，它会首先计算得 2，然后调用 show 2 得到该数值的字串表示，即 "2"，再输出到屏幕.

是时候了，来点高阶函数！

Haskell 中的函数可以取另一个函数做参数，也可以回传函数。 举个例子，我们弄个取一个函数并调用它两次的函数.

applyTwice :: (a -> a) -> a -> a  
applyTwice f x = f (f x)

首先注意这型别声明。 在此之前我们很少用到括号，因为 (->) 是自然的右结合，不过在这里括号是必须的。 它标明了首个参数是个参数与回传值型别都是a的函数，第二个参数与回传值的型别也都是a。 我们可以用 Curried functions 的思路来理解这一函数，不过免得自寻烦恼，我们姑且直接把它看作是取两个参数回传一个值，其首个参数是个型别为 (a->a) 的函数,第二个参数是个 a。 该函数的型别可以是 (Int->Int)，也可以是 (String->String)，但第二个参数必须与之一致。

*Note*: 现在开始我们会直说某函数含有多个参数(除非它真的只有一个参数)。 以简洁之名，我们会说 ``(a->a->a)`` 取两个参数，尽管我们知道它在背后做的手脚.

这个函数是相当的简单，就拿参数 f 当函数，用 x 调用它得到的结果再去调用它。也就可以这样玩:

ghci> applyTwice (+3) 10  
16  
ghci> applyTwice (++ " HAHA") "HEY"  
"HEY HAHA HAHA"  
ghci> applyTwice ("HAHA " ++) "HEY"  
"HAHA HAHA HEY"  
ghci> applyTwice (multThree 2 2) 9  
144  
ghci> applyTwice (3:) [1]  
[3,3,1]

看，不全调用多神奇! 如果有个函数要我们给它传个一元函数，大可以不全调用一个函数让它剩一个参数，再把它交出去。

接下来我们用高阶函数的编程思想来实现个标准库中的函数，它就是 zipWith。 它取一个函数和两个 List 做参数，并把两个 List 交到一起(使相应的元素去调用该函数)。 如下就是我们的实现:

zipWith' :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]  
zipWith' _ [] _ = []  
zipWith' _ _ [] = []  
zipWith' f (x:xs) (y:ys) = f x y : zipWith' f xs ys

看下这个型别声明，它的首个参数是个函数，取两个参数处理交叉，其型别不必相同，不过相同也没关系。 第二三个参数都是 List，回传值也是个 List。 第一个 List中元素的型别必须是a，因为这个处理交叉的函数的第一个参数是a。 第二个 List 中元素的型别必为 b，因为这个处理交叉的函数第二个参数的型别是 b。 回传的 List 中元素型别为 c。 如果一个函数说取一个型别为 a->b->c 的函数做参数，传给它个 a->a->c 型别的也是可以的，但反过来就不行了。 可以记下，若在使用高阶函数的时候不清楚其型别为何，就先忽略掉它的型别声明，再到 ghci 下用 :t 命令来看下 Haskell 的型别推导.

这函数的行为与普通的 zip 很相似，边界条件也是相同，只不过多了个参数，即处理元素交叉的函数。它关不着边界条件什么事儿，所以我们就只留一个 _。后一个模式的函数体与 zip 也很像，只不过这里是 f x y 而非 (x,y)。 只要足够通用，一个简单的高阶函数可以在不同的场合反复使用。 如下便是我们 zipWith' 函数本领的冰山一角:

ghci> zipWith' (+) [4,2,5,6] [2,6,2,3]  
[6,8,7,9]  
ghci> zipWith' max [6,3,2,1] [7,3,1,5]  
[7,3,2,5]  
ghci> zipWith' (++) ["foo ", "bar ", "baz "] ["fighters", "hoppers", "aldrin"]  
["foo fighters","bar hoppers","baz aldrin"]  
ghci> zipWith' (*) (replicate 5 2) [1..]  
[2,4,6,8,10]  
ghci> zipWith' (zipWith' (*)) [[1,2,3],[3,5,6],[2,3,4]] [[3,2,2],[3,4,5],[5,4,3]]  
[[3,4,6],[9,20,30],[10,12,12]]

如你所见，一个简单的高阶函数就可以玩出很多花样。命令式语言使用 for、while、赋值、状态检测来实现功能，再包起来留个接口，使之像个函数一样调用。而函数式语言使用高阶函数来抽象出常见的模式，像成对遍历并处理两个 List 或从中筛掉自己不需要的结果。

接下来实现标准库中的另一个函数 flip，flip简单地取一个函数作参数并回传一个相似的函数，只是它们的两个参数倒了个。

flip' :: (a -> b -> c) -> (b -> a -> c)  
flip' f = g  
    where g x y = f y x

从这型别声明中可以看出，它取一个函数，其参数型别分别为 a 和 b，而它回传的函数的参数型别为 b 和 a。 由于函数缺省都是柯里化的，-> 为右结合，这里的第二对括号其实并无必要，(a -> b -> c) -> (b -> a -> c) 与 (a -> b -> c) -> (b -> (a -> c)) 等价,也与 (a -> b -> c) -> b -> a -> c 等价。 前面我们写了 g x y = f y x，既然这样可行，那么 f y x = g x y 不也一样? 这一来我们可以改成更简单的写法:

flip' :: (a -> b -> c) -> b -> a -> c  
flip' f y x = f x y

在这里我们就利用了 Curried functions 的优势，只要调用 flip' f 而不带 y和x，它就会回传一个俩参数倒个的函数。 flip 处理的函数往往都是用来传给其他函数调用，于是我们可以发挥 Curried functions 的优势，预先想好发生完全调用的情景并处理好回传值.

ghci> flip' zip [1,2,3,4,5] "hello"  
[('h',1),('e',2),('l',3),('l',4),('o',5)]  
ghci> zipWith (flip' div) [2,2..] [10,8,6,4,2]  
[5,4,3,2,1]

map 与 filter

map 取一个函数和 List 做参数，遍历该 List 的每个元素来调用该函数产生一个新的 List。 看下它的型别声明和实现:

map :: (a -> b) -> [a] -> [b]  
map _ [] = []  
map f (x:xs) = f x : map f xs

从这型别声明中可以看出，它取一个取 a 回传 b 的函数和一组 a 的 List，并回传一组 b。 这就是 Haskell 的有趣之处：有时只看型别声明就能对函数的行为猜个大致。map 函数多才多艺，有一百万种用法。如下是其中一小部分:

ghci> map (+3) [1,5,3,1,6]  
[4,8,6,4,9]  
ghci> map (++ "!") ["BIFF", "BANG", "POW"]  
["BIFF!","BANG!","POW!"]  
ghci> map (replicate 3) [3..6]  
[[3,3,3],[4,4,4],[5,5,5],[6,6,6]]  
ghci> map (map (^2)) [[1,2],[3,4,5,6],[7,8]]  
[[1,4],[9,16,25,36],[49,64]]  
ghci> map fst [(1,2),(3,5),(6,3),(2,6),(2,5)]  
[1,3,6,2,2]

你可能会发现，以上的所有代码都可以用 List Comprehension 来替代。map (+3) [1,5,3,1,6] 与 [x+3 | x <- [1,5,3,1,6] 完全等价。

filter 函数取一个限制条件和一个 List，回传该 List 中所有符合该条件的元素。它的型别声明及实现大致如下:

filter :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]  
filter _ [] = []  
filter p (x:xs)   
    | p x       = x : filter p xs  
    | otherwise = filter p xs

很简单。只要 p x 所得的结果为真，就将这一元素加入新 List，否则就无视之。几个使用范例:

ghci> filter (>3) [1,5,3,2,1,6,4,3,2,1]  
[5,6,4]  
ghci> filter (==3) [1,2,3,4,5]  
[3]  
ghci> filter even [1..10]  
[2,4,6,8,10]  
ghci> let notNull x = not (null x) in filter notNull [[1,2,3],[],[3,4,5],[2,2],[],[],[]]  
[[1,2,3],[3,4,5],[2,2]]  
ghci> filter (`elem` ['a'..'z']) "u LaUgH aT mE BeCaUsE I aM diFfeRent"  
"uagameasadifeent"  
ghci> filter (`elem` ['A'..'Z']) "i lauGh At You BecAuse u r aLL the Same"  
"GAYBALLS"

同样，以上都可以用 List Comprehension 的限制条件来实现。并没有教条规定你必须在什么情况下用 map 和 filter 还是 List Comprehension，选择权归你，看谁舒服用谁就是。 如果有多个限制条件，只能连着套好几个 filter 或用 && 等逻辑函数的组合之，这时就不如 List comprehension 来得爽了。

还记得上一章的那个 quicksort 函数么? 我们用到了 List Comprehension 来过滤大于或小于锚的元素。 换做 filter 也可以实现，而且更加易读：

quicksort :: (Ord a) => [a] -> [a]    
quicksort [] = []    
quicksort (x:xs) =     
    let smallerSorted = quicksort (filter (<=x) xs)
        biggerSorted = quicksort (filter (>x) xs)   
    in  smallerSorted ++ [x] ++ biggerSorted

map 和 filter 是每个函数式程序员的面包黄油(呃，map 和 filter 还是 List Comprehension 并不重要)。 想想前面我们如何解决给定周长寻找合适直角三角形的问题的? 在命令式编程中，我们可以套上三个循环逐个测试当前的组合是否满足条件，若满足，就打印到屏幕或其他类似的输出。 而在函数式编程中，这行就都交给 map 和 filter。 你弄个取一参数的函数，把它交给 map 过一遍 List，再 filter 之找到合适的结果。 感谢 Haskell 的惰性，即便是你多次 map 一个 ```List`` 也只会遍历一遍该 List，要找出小于 100000 的数中最大的 3829 的倍数，只需过滤结果所在的 List 就行了.

要_从小于 100000 的数中找出 3829 的最大的倍数_，我们应当过滤一个结果可能所在的 List.

largestDivisible :: (Integral a) => a  
largestDivisible = head (filter p [100000,99999..])  
    where p x = x `mod` 3829 == 0

首先，取一个降序的小于 100000 所有数的 List，然后按照限制条件过滤它。 由于这个 List 是降序的，所以结果 List 中的首个元素就是最大的那个数。惰性再次行动! 由于我们只取这结果 List 的首个元素，所以它并不关心这 List 是有限还是无限的，在找到首个合适的结果处运算就停止了。

接下来，我们就要_找出所有小于 10000 且为奇的平方的和_，得先提下 takeWhile 函数，它取一个限制条件和 List 作参数，然后从头开始遍历这一 List，并回传符合限制条件的元素。 而一旦遇到不符合条件的元素，它就停止了。 如果我们要取出字串 "elephants know how to party" 中的首个单词，可以 takeWhile (/=' ') "elephants know how to party"，回传 "elephants"。okay，要求所有小于 10000 的奇数的平方的和，首先就用 (^2) 函数 map 掉这个无限的 List [1..] 。然后过滤之，只取奇数就是了。 在大于 10000 处将它断开，最后前面的所有元素加到一起。 这一切连写函数都不用，在 ghci 下直接搞定.

ghci> sum (takeWhile (<10000) (filter odd (map (^2) [1..])))  
166650

不错! 先从几个初始数据(表示所有自然数的无限 List)，再 map 它，filter 它，切它，直到它符合我们的要求，再将其加起来。 这用 List comprehension 也是可以的，而哪种方式就全看你的个人口味.

ghci> sum (takeWhile (<10000) [m | m <- [n^2 | n <- [1..]], odd m])  
166650

感谢 Haskell 的惰性特质，这一切才得以实现。 我们之所以可以 map 或 filter 一个无限 List，是因为它的操作不会被立即执行，而是拖延一下。只有我们要求 Haskell 交给我们 sum 的结果的时候，sum 函数才会跟 takeWhile 说，它要这些数。takeWhile 就再去要求 filter 和 map 行动起来，并在遇到大于等于 10000 时候停止. 下个问题与 Collatz 串行有关，取一个自然数，若为偶数就除以 2。 若为奇数就乘以 3 再加 1。 再用相同的方式处理所得的结果，得到一组数字构成的的链。它有个性质，无论任何以任何数字开始，最终的结果都会归 1。所以若拿 13 当作起始数，就可以得到这样一个串行 13，40，20，10，5，16，8，4，2，1。13*3+1 得 40，40 除 2 得 20，如是继续，得到一个 10 个元素的链。

好的，我们想知道的是: 以 1 到 100 之间的所有数作为起始数，会有多少个链的长度大于 15?

chain :: (Integral a) => a -> [a]  
chain 1 = [1]  
chain n  
    | even n =  n:chain (n `div` 2)  
    | odd n  =  n:chain (n*3 + 1)

该链止于 1，这便是边界条件。标准的递归函数:

ghci> chain 10  
[10,5,16,8,4,2,1]  
ghci> chain 1  
[1]  
ghci> chain 30  
[30,15,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1]

yay! 貌似工作良好。 现在由这个函数来告诉我们结果:

numLongChains :: Int  
numLongChains = length (filter isLong (map chain [1..100]))  
    where isLong xs = length xs > 15

我们把 chain 函数 map 到 [1..100]，得到一组链的 List，然后用个限制条件过滤长度大于 15 的链。过滤完毕后就可以得出结果list中的元素个数.

*Note*: 这函数的型别为 ``numLongChains :: Int``。这是由于历史原因，``length`` 回传一个 ``Int`` 而非 ``Num`` 的成员型别，若要得到一个更通用的 ``Num a``，我们可以使用 ``fromIntegral`` 函数来处理所得结果.

用 map，我们可以写出类似 map (*) [0..] 之类的代码。 如果只是为了例证 Curried functions 和不全调用的函数是真正的值及其原理，那就是你可以把函数传递或把函数装在 List 中(只是你还不能将它们转换为字串)。 迄今为止，我们还只是 map 单参数的函数到 List，如 map (*2) [0..] 可得一组型别为 (Num a) => [a] 的 List，而 map (*) [0..] 也是完全没问题的。* 的型别为 (Num a) => a -> a -> a，用单个参数调用二元函数会回传一个一元函数。如果用 * 来 map 一个 [0..] 的 List，就会得到一组一元函数组成的 List，即 (Num a) => [a->a]。map (*) [0..] 所得的结果写起来大约就是 [(0*),(1*),(2*)..].

ghci> let listOfFuns = map (*) [0..]  
ghci> (listOfFuns !! 4) 5  
20

取所得 List 的第五个元素可得一函数，与 (*4) 等价。 然后用 5 调用它，与 (* 4) 5 或 4*5 都是等价的.

lambda

lambda 就是匿名函数。有些时候我们需要传给高阶函数一个函数，而这函数我们只会用这一次，这就弄个特定功能的 lambda。编写 lambda，就写个 \ (因为它看起来像是希腊字母的 lambda -- 如果你斜视的厉害)，后面是用空格分隔的参数，-> 后面就是函数体。通常我们都是用括号将其括起，要不然它就会占据整个右边部分。

向上 5 英吋左右，你会看到我们在 numLongChain 函数中用 where 语句声明了个 isLong 函数传递给了 filter。好的，用 lambda 代替它。

numLongChains :: Int  
numLongChains = length (filter (\xs -> length xs > 15) (map chain [1..100]))

lambda 是个表达式，因此我们可以任意传递。表达式 (\xs -> length xs > 15) 回传一个函数，它可以告诉我们一个 List 的长度是否大于 15。

不熟悉 Curried functions 与不全调用的人们往往会写出很多 lambda，而实际上大部分都是没必要的。例如，表达式 map (+3) [1,6,3,2] 与 map (\x -> x+3) [1,6,3,2] 等价，(+3) 和 (\x -> x+3) 都是给一个数加上 3。不用说，在这种情况下不用 lambda 要清爽的多。

和普通函数一样，lambda 也可以取多个参数。

ghci> zipWith (\a b -> (a * 30 + 3) / b) [5,4,3,2,1] [1,2,3,4,5]  
[153.0,61.5,31.0,15.75,6.6]

同普通函数一样，你也可以在 lambda 中使用模式匹配，只是你无法为一个参数设置多个模式，如 [] 和 (x:xs)。lambda 的模式匹配若失败，就会引发一个运行时错误，所以慎用！

ghci> map (\(a,b) -> a + b) [(1,2),(3,5),(6,3),(2,6),(2,5)]  
[3,8,9,8,7]

一般情况下，lambda 都是括在括号中，除非我们想要后面的整个语句都作为 lambda 的函数体。很有趣，由于有柯里化，如下的两段是等价的：

addThree :: (Num a) => a -> a -> a -> a  
addThree x y z = x + y + z

addThree :: (Num a) => a -> a -> a -> a  
addThree = \x -> \y -> \z -> x + y + z

这样的函数声明与函数体中都有 ->，这一来型别声明的写法就很明白了。当然第一段代码更易读，不过第二个函数使得柯里化更容易理解。

有些时候用这种语句写还是挺酷的，我觉得这应该是最易读的 flip 函数实现了：

flip' :: (a -> b -> c) -> b -> a -> c  
flip' f = \x y -> f y x

尽管这与 flip' f x y = f y x 等价，但它可以更明白地表示出它会产生一个新的函数。flip 常用来处理一个函数，再将回传的新函数传递给 map 或 filter。所以如此使用 lambda 可以更明确地表现出回传值是个函数，可以用来传递给其他函数作参数。

关键字 fold

回到当初我们学习递归的情景。我们会发现处理 List 的许多函数都有固定的模式，通常我们会将边界条件设置为空 List，再引入 (x:xs) 模式，对单个元素和余下的 List 做些事情。这一模式是如此常见，因此 Haskell 引入了一组函数来使之简化，也就是 fold。它们与map有点像，只是它们回传的是单个值。

一个 fold 取一个二元函数，一个初始值(我喜欢管它叫累加值)和一个需要折叠的 List。这个二元函数有两个参数，即累加值和 List 的首项(或尾项)，回传值是新的累加值。然后，以新的累加值和新的 List 首项调用该函数，如是继续。到 List 遍历完毕时，只剩下一个累加值，也就是最终的结果。

首先看下 foldl 函数，也叫做左折叠。它从 List 的左端开始折叠，用初始值和 List 的头部调用这二元函数，得一新的累加值，并用新的累加值与 List 的下一个元素调用二元函数。如是继续。

我们再实现下 sum，这次用 fold 替代那复杂的递归：

sum' :: (Num a) => [a] -> a  
sum' xs = foldl (\acc x -> acc + x) 0 xs

测试下，一二三～

ghci> sum' [3,5,2,1]  
11

我们深入看下 fold 的执行过程：\acc x-> acc + x 是个二元函数，0 是初始值，xs 是待折叠的 List。一开始，累加值为 0，当前项为 3，调用二元函数 0+3 得 3，作新的累加值。接着来，累加值为 3，当前项为 5，得新累加值 8。再往后，累加值为 8，当前项为 2，得新累加值 10。最后累加值为 10，当前项为 1，得 11。恭喜，你完成了一次折叠 (fold)！

左边的这个图表示了折叠的执行过程，一步又一步(一天又一天!)。浅棕色的数字都是累加值，你可以从中看出 List 是如何从左端一点点加到累加值上的。唔对对对！如果我们考虑到函数的柯里化，可以写出更简单的实现：

sum' :: (Num a) => [a] -> a  
sum' = foldl (+) 0

这个 lambda 函数 (\acc x -> acc + x ) 与 (+) 等价。我们可以把 xs 等一应参数省略掉，反正调用 foldl (+) 0 会回传一个取 List 作参数的函数。通常，如果你的函数类似 foo a = bar b a， 大可改为 foo = bar b。有柯里化嘛。

呼呼，进入右折叠前我们再实现个用到左折叠的函数。大家肯定都知道 elem 是检查某元素是否属于某 List 的函数吧，我就不再提了(唔，刚提了)。用左折叠实现它:

elem' :: (Eq a) => a -> [a] -> Bool  
elem' y ys = foldl (\acc x -> if x == y then True else acc) False ys

好好好，这里我们有什么？起始值与累加值都是布尔值。在处理 fold 时，累加值与最终结果的型别总是相同的。如果你不知道怎样对待起始值，那我告诉你，我们先假设它不存在，以 False 开始。我们要是 fold 一个空 List，结果就是 False。然后我们检查当前元素是否为我们寻找的，如果是，就令累加值为 True，如果否，就保留原值不变。若 False，及表明当前元素不是。若 True，就表明已经找到了。

右折叠 foldr 的行为与左折叠相似，只是累加值是从 List 的右边开始。同样，左折叠的二元函数取累加值作首个参数，当前值为第二个参数(即 \acc x -> ...)，而右折叠的二元函数参数的顺序正好相反(即 \x acc -> ...)。这倒也正常，毕竟是从右端开始折叠。

累加值可以是任何型别，可以是数值，布尔值，甚至一个新的 List。我们可以用右 fold 实现 map 函数，累加值就是个 List。将 map 处理过的元素一个一个连到一起。很容易想到，起始值就是空 List。

map' :: (a -> b) -> [a] -> [b]  
map' f xs = foldr (\x acc -> f x : acc) [] xs

如果我们用 (+3) 来映射 [1,2,3]，它就会先到达 List 的右端，我们取最后那个元素，也就是 3 来调用 (+3)，得 6。追加 (:) 到累加值上，6:[] 得 [6] 并成为新的累加值。用 2 调用 (+3)，得 5，追加到累加值，于是累加值成了 [5,6]。再对 1 调用 (+3)，并将结果 4 追加到累加值，最终得结果 [4,5,6]。

当然，我们也完全可以用左折叠来实现它，map' f xs = foldl (\acc x -> acc ++ [f x]) [] xs 就行了。不过问题是，使用 (++) 往 List 后面追加元素的效率要比使用 (:) 低得多。所以在生成新 List 的时候人们一般都是使用右折叠。

反转一个 List，既也可以通过右折叠，也可以通过左折叠。有时甚至不需要管它们的分别，如 sum 函数的左右折叠实现都是十分相似。不过有个大的不同，那就是右折叠可以处理无限长度的数据结构，而左折叠不可以。将无限 List 从中断开执行左折叠是可以的，不过若是向右，就永远到不了头了。

所有遍历 List 中元素并据此回传一个值的操作都可以交给 fold 实现。无论何时需要遍历 List 并回传某值，都可以尝试下 fold。因此，fold的地位可以说与 map和 filter并驾齐驱，同为函数式编程中最常用的函数之一。

foldl1 与 foldr1 的行为与 foldl 和 foldr 相似，只是你无需明确提供初始值。他们假定 List 的首个(或末尾)元素作为起始值，并从旁边的元素开始折叠。这一来，sum 函数大可这样实现：sum = foldl1 (+)。这里待折叠的 List 中至少要有一个元素，若使用空 List 就会产生一个运行时错误。不过 foldl 和 foldr 与空 List 相处的就很好。所以在使用 fold 前，应该先想下它会不会遇到空 List，如果不会遇到，大可放心使用 foldr1 和 foldl1。

为了体会 fold 的威力，我们就用它实现几个库函数：

maximum' :: (Ord a) => [a] -> a  
maximum' = foldr1 (\x acc -> if x > acc then x else acc)  

reverse' :: [a] -> [a]  
reverse' = foldl (\acc x -> x : acc) []  

product' :: (Num a) => [a] -> a  
product' = foldr1 (*)  

filter' :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]  
filter' p = foldr (\x acc -> if p x then x : acc else acc) []  

head' :: [a] -> a  
head' = foldr1 (\x _ -> x)  

last' :: [a] -> a  
last' = foldl1 (\_ x -> x)

仅靠模式匹配就可以实现 head 函数和 last 函数，而且效率也很高。这里只是为了演示，用 fold 的实现方法。我觉得我们这个 reverse' 定义的相当聪明，用一个空 List 做初始值，并向左展开 List，从左追加到累加值，最后得到一个反转的新 List。\acc x -> x : acc 有点像 : 函数，只是参数顺序相反。所以我们可以改成 foldl (flip (:)) []。

有个理解折叠的思路：假设我们有个二元函数 f，起始值 z，如果从右折叠 [3,4,5,6]，实际上执行的就是 f 3 (f 4 (f 5 (f 6 z)))。f 会被 List 的尾项和累加值调用，所得的结果会作为新的累加值传入下一个调用。假设 f 是 (+)，起始值 z 是 0，那么就是 3 + (4 + (5 + (6 + 0)))，或等价的首码形式：(+) 3 ((+) 4 ((+) 5 ((+) 6 0)))。相似，左折叠一个 List，以 g 为二元函数，z 为累加值，它就与 g (g (g (g z 3) 4) 5) 6 等价。如果用 flip (:) 作二元函数，[] 为累加值(看得出，我们是要反转一个 List)，这就与 flip (:) (flip (:) (flip (:) (flip (:) [] 3) 4) 5) 6 等价。显而易见，执行该表达式的结果为 [6,5,4,3]。

scanl 和 scanr 与 foldl 和 foldr 相似，只是它们会记录下累加值的所有状态到一个 List。也有 scanl1 和 scanr1。

ghci> scanl (+) 0 [3,5,2,1]  
[0,3,8,10,11]  
ghci> scanr (+) 0 [3,5,2,1]  
[11,8,3,1,0]  
ghci> scanl1 (\acc x -> if x > acc then x else acc) [3,4,5,3,7,9,2,1]  
[3,4,5,5,7,9,9,9]  
ghci> scanl (flip (:)) [] [3,2,1]  
[[],[3],[2,3],[1,2,3]]

当使用 scanl 时，最终结果就是 List 的最后一个元素。而在 scanr 中则是第一个。

sqrtSums :: Int  
sqrtSums = length (takeWhile (<1000) (scanl1 (+) (map sqrt [1..]))) + 1

ghci> sqrtSums  
131  
ghci> sum (map sqrt [1..131])  
1005.0942035344083  
ghci> sum (map sqrt [1..130])  
993.6486803921487

scan 可以用来跟踪 fold 函数的执行过程。想想这个问题，取所有自然数的平方根的和，寻找在何处超过 1000？ 先map sqrt [1..]，然后用个 fold 来求它们的和。但在这里我们想知道求和的过程，所以使用 scan，scan 完毕时就可以得到小于 1000 的所有和。所得结果 List 的第一个元素为 1，第二个就是 1+根2，第三个就是 1+根2+根3。若有 x 个和小于 1000，那结果就是 x+1。

有$的函数调用

好的，接下来看看 $ 函数。它也叫作_函数调用符_。先看下它的定义：

($) :: (a -> b) -> a -> b  
f $ x = f x

什么鬼东西？这没啥意义的操作符？它只是个函数调用符罢了？好吧，不全是，但差不多。普通的函数调用符有最高的优先级，而 $ 的优先级则最低。用空格的函数调用符是左结合的，如 f a b c 与 ((f a) b) c 等价，而 $ 则是右结合的。

听着不错。但有什么用？它可以减少我们代码中括号的数目。试想有这个表达式： sum (map sqrt [1..130])。由于低优先级的 $，我们可以将其改为 sum $ map sqrt [1..130]，可以省敲不少键！sqrt 3 + 4 + 9 会怎样？这会得到 9，4 和根3 的和。若要取 (3+4+9) 的平方根，就得 sqrt (3+4+9) 或用 $：sqrt $ 3+4+9。因为 $ 有最低的优先级，所以你可以把$看作是在右面写一对括号的等价形式。

sum (filter (> 10) (map (*2) [2..10])) 该如何？嗯，$ 是右结合，f (g (z x)) 与 f $ g $ z x 等价。所以我们可以将 sum (filter (> 10) (map (*2) [2..10]) 重写为 sum $ filter (> 10) $ map (*2) [2..10]。

除了减少括号外，$ 还可以将数据作为函数使用。例如映射一个函数调用符到一组函数组成的 List：

ghci> map ($ 3) [(4+),(10*),(^2),sqrt]  
[7.0,30.0,9.0,1.7320508075688772]

Function composition

在数学中，函数组合是这样定义的： ，表示组合两个函数成为一个函数。以 x 调用这一函数，就与用 x 调用 g 再用所得的结果调用 f 等价。

Haskell 中的函数组合与之很像，即 . 函数。其定义为：

(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c  
f . g = \x -> f (g x)

注意下这型别声明，f 的参数型别必须与 g 的回传型别相同。所以得到的组合函数的参数型别与 g 相同，回传型别与 f 相同。表达式 negate . (*3) 回传一个求一数字乘以 3 后的负数的函数。

函数组合的用处之一就是生成新函数，并传递给其它函数。当然我们可以用 lambda 实现，但大多数情况下，使用函数组合无疑更清楚。假设我们有一组由数字组成的 List，要将其全部转为负数，很容易就想到应先取其绝对值，再取负数，像这样：

ghci> map (\x -> negate (abs x)) [5,-3,-6,7,-3,2,-19,24]  
[-5,-3,-6,-7,-3,-2,-19,-24]

注意下这个 lambda 与那函数组合是多么的相像。用函数组合，我们可以将代码改为：

ghci> map (negate . abs) [5,-3,-6,7,-3,2,-19,24]  
[-5,-3,-6,-7,-3,-2,-19,-24]

漂亮！函数组合是右结合的，我们同时组合多个函数。表达式 f (g (z x))与 (f . g . z) x 等价。按照这个思路，我们可以将

ghci> map (\xs -> negate (sum (tail xs))) [[1..5],[3..6],[1..7]]  
[-14,-15,-27]

改为：

ghci> map (negate . sum . tail) [[1..5],[3..6],[1..7]]  
[-14,-15,-27]

不过含多个参数的函数该怎么办？好，我们可以使用不全调用使每个函数都只剩下一个参数。sum (replicate 5 (max 6.7 8.9)) 可以重写为 (sum . replicate 5 . max 6.7) 8.9 或 sum . replicate 5 . max 6.7 $ 8.9。在这里会产生一个函数，它取与 max 6.7 同样的参数，并使用结果调用 replicate 5 再用 sum 求和。最后用 8.9 调用该函数。不过一般你可以这么读，用 8.9 调用 max 6.7，然后使它 replicate 5，再 sum 之。如果你打算用函数组合来替掉那堆括号，可以先在最靠近参数的函数后面加一个 $，接着就用 . 组合其所有函数调用，而不用管最后那个参数。如果有这样一段代码：replicate 100 (product (map (*3) (zipWith max [1,2,3,4,5] [4,5,6,7,8])))，可以改为：replicate 100 . product . map (*3) . zipWith max [1,2,3,4,5] $ [4,5,6,7,8]。如果表达式以 3 个括号结尾，就表示你可以将其修改为函数组合的形式。

函数组合的另一用途就是定义 point free style (也称作 pointless style) 的函数。就拿我们之前写的函数作例子：

sum' :: (Num a) => [a] -> a     
sum' xs = foldl (+) 0 xs

等号的两端都有个 xs。由于有柯里化 (Currying)，我们可以省掉两端的 xs。foldl (+) 0 回传的就是一个取一 List 作参数的函数，我们把它修改为 sum' = foldl (+) 0，这就是 point free style。下面这个函数又该如何改成 point free style 呢？

fn x = ceiling (negate (tan (cos (max 50 x))))

像刚才那样简单去掉两端的 x 是不行的，函数定义中 x 的右边还有括号。cos (max 50) 是有错误的，你不能求一个函数的余弦。我们的解决方法就是，使用函数组合。

fn = ceiling . negate . tan . cos . max 50

漂亮！point free style 会令你去思考函数的组合方式，而非数据的传递方式，更加简洁明了。你可以将一组简单的函数组合在一起，使之形成一个复杂的函数。不过函数若过于复杂，再使用 point free style 往往会适得其反，因此构造较长的函数组合链是不被鼓励的(虽然我本人热衷于函数组合)。更好的解决方法，就是使用 let 语句给中间的运算结果绑定一个名字，或者说把问题分解成几个小问题再组合到一起。这样一来我们代码的读者就可以轻松些，不必要纠结那巨长的函数组合链了。

在 map 和 filter 那节中，我们求了小于 10000 的所有奇数的平方的和。如下就是将其置于一个函数中的样子：

oddSquareSum :: Integer  
oddSquareSum = sum (takeWhile (<10000) (filter odd (map (^2) [1..])))

身为函数组合狂人，我可能会这么写：

oddSquareSum :: Integer  
oddSquareSum = sum . takeWhile (<10000) . filter odd . map (^2) $ [1..]

不过若是给别人看，我可能就这么写了：

oddSquareSum :: Integer  
oddSquareSum =   
    let oddSquares = filter odd $ map (^2) [1..]  
        belowLimit = takeWhile (<10000) oddSquares  
    in  sum belowLimit

这段代码可赢不了代码花样大赛，不过我们的读者可能会觉得它比函数组合链更好看。