來看看幾種 Monad

當我們第一次談到 Functor 的時候，我們了解到他是一個抽象概念，代表是一種可以被 map over 的值。然後我們再將其概念提升到 Applicative Functor，他代表一種帶有 context 的型態，我們可以用函數操作他而且同時還保有他的 context。

在這一章，我們會學到 Monad，基本上他是一種加強版的 Applicative Functor，正如 Applicative Functor 是 Functor 的加強版一樣。

我們介紹到 Functor 是因為我們觀察到有許多型態都可以被 function 給 map over，了解到這個目的，便抽象化了 Functor 這個 typeclass 出來。但這讓我們想問：如果給定一個 a -> b 的函數以及 f a 的型態，我們要如何將函數 map over 這個型態而得到 f b？我們知道要如何 map over Maybe a，[a] 以及 IO a。我們甚至還知道如何用 a -> b map over r -> a，並且會得到 r -> b。要回答這個問題，我們只需要看 fmap 的型態就好了：

fmap :: (Functor f) => (a -> b) -> f a -> f b

然後只要針對 Functor instance 撰寫對應的實作。

之後我們又看到一些可以針對 Functor 改進的地方，例如 a -> b 也被包在一個 Functor value 裡面呢？像是 Just (*3)，我們要如何 apply Just 5 給他？如果我們不要 apply Just 5 而是 Nothing 呢？甚至給定 [(*2),(+4)]，我們要如何 apply 他們到 [1,2,3] 呢？對於此，我們抽象出 Applicative typeclass，這就是我們想要問的問題：

(<*>) :: (Applicative f) => f (a -> b) -> f a -> f b

我們也看到我們可以將一個正常的值包在一個資料型態中。例如說我們可以拿一個 1 然後把他包成 Just 1。或是把他包成 [1]。也可以是一個 I/O action 會產生一個 1。這樣包裝的 function 我們叫他做 pure。

如我們說得，一個 applicative value 可以被看作一個有附加 context 的值。例如說，'a' 只是一個普通的字元，但 Just 'a' 是一個附加了 context 的字元。他不是 Char 而是 Maybe Char，這型態告訴我們這個值可能是一個字元，也可能什麼都沒有。

來看看 Applicative typeclass 怎樣讓我們用普通的 function 操作他們，同時還保有 context：

ghci> (*) <$> Just 2 <*> Just 8  
Just 16  
ghci> (++) <$> Just "klingon" <*> Nothing  
Nothing  
ghci> (-) <$> [3,4] <*> [1,2,3]  
[2,1,0,3,2,1]

所以我們可以視他們為 applicative values，Maybe a 代表可能會失敗的 computation，[a] 代表同時有好多結果的 computation (non-deterministic computation)，而 IO a 代表會有 side-effects 的 computation。

Monad 是一個從 Applicative functors 很自然的一個演進結果。對於他們我們主要考量的點是：如果你有一個具有 context 的值 m a，你能如何把他丟進一個只接受普通值 a 的函數中，並回傳一個具有 context 的值？也就是說，你如何套用一個型態為 a -> m b 的函數至 m a？基本上，我們要求的函數是：

(>>=) :: (Monad m) => m a -> (a -> m b) -> m b

如果我們有一個漂亮的值跟一個函數接受普通的值但回傳漂亮的值，那我們要如何要把漂亮的值丟進函數中？這就是我們使用 Monad 時所要考量的事情。我們不寫成 f a 而寫成 m a 是因為 m 代表的是 Monad，但 monad 不過就是支援 >>= 操作的 applicative functors。>>= 我們稱呼他為 bind。

當我們有一個普通值 a 跟一個普通函數 a -> b，要套用函數是一件很簡單的事。但當你在處理具有 context 的值時，就需要多考慮些東西，要如何把漂亮的值餵進函數中，並如何考慮他們的行為，但你將會了解到他們其實不難。

動手做做看: Maybe Monad

現在對於什麼是 Monad 已經有了些模糊的概念， 我們來看看要如何讓這概念更具體一些。

不意外地，Maybe 是一個 Monad， 所以讓我們對於他多探討些，看看是否能跟我們所知的 Monad 概念結合起來。

到這邊要確定你了解什麼是 Applicatives。如果你知道好幾種 ``Applicative`` 的 instance 還有他們代表的意含就更好了，因為 monad 不過就是對 applicative 的概念進行一次升級。

一個 Maybe a 型態的值代表型態為 a 的值而且具備一個可能造成錯誤的 context。而 Just "dharma" 的值代表他不是一個 "dharma" 的字串就是字串不見時的 Nothing。如果你把字串當作計算的結果，Nothing 就代表計算失敗了。

當我們把 Maybe 視作 functor，我們其實要的是一個 fmap 來把一個函數針對其中的元素做套用。他會對 Just 中的元素進行套用，要不然就是保留 Nothing 的狀態，其代表裡面根本沒有元素。

ghci> fmap (++"!") (Just "wisdom")  
Just "wisdom!"  
ghci> fmap (++"!") Nothing  
Nothing

或者視為一個 applicative functor，他也有類似的作用。只是 applicative 也把函數包了起來。Maybe 作為一個 applicative functor，我們能用 <*> 來套用一個存在 Maybe 中的函數至包在另外一個 Maybe 中的值。他們都必須是包在 Just 來代表值存在，要不然其實就是 Nothing。當你在想套用函數到值上面的時候，缺少了函數或是值都會造成錯誤，所以這樣做是很合理的。

ghci> Just (+3) <*> Just 3  
Just 6  
ghci> Nothing <*> Just "greed"  
Nothing  
ghci> Just ord <*> Nothing  
Nothing

當我們用 applicative 的方式套用函數至 Maybe 型態的值時，就跟上面描述的差不多。過程中所有值都必須是 Just，要不然結果一定會是 Nothing。

ghci> max <$> Just 3 <*> Just 6  
Just 6  
ghci> max <$> Just 3 <*> Nothing  
Nothing

我們來思考一下要怎麼為 Maybe 實作 >>=。正如我們之前提到的，>>= 接受一個 monadic value，以及一個接受普通值的函數，這函數會回傳一個 monadic value。>>= 會幫我們套用這個函數到這個 monadic value。在函數只接受普通值的情況俠，函數是如何作到這件事的呢？要作到這件事，他必須要考慮到 monadic value 的 context。

在這個案例中，>>= 會接受一個 Maybe a 以及一個型態為 a -> Maybe b 的函數。他會套用函數到 Maybe a。要釐清他怎麼作到的，首先我們注意到 Maybe 的 applicative functor 特性。假設我們有一個函數 \x -> Just (x+1)。他接受一個數字，把他加 1 後再包回 Just。

ghci> (\x -> Just (x+1)) 1  
Just 2  
ghci> (\x -> Just (x+1)) 100  
Just 101

如果我們餵給函數 1，他會計算成 Just 2。如果我們餵給函數 100，那結果便是 Just 101。但假如我們餵一個 Maybe 的值給函數呢？如果我們把 Maybe 想成一個 applicative functor，那答案便很清楚。如果我們拿到一個 Just，就把包在 Just 裡面的值餵給函數。如果我們拿到一個 Nothing，我們就說結果是 Nothing。

我們呼叫 applyMaybe 而不呼叫 >>=。他接受 Maybe a 跟一個回傳 Maybe b 的函數，並套用函數至 Maybe a。

applyMaybe :: Maybe a -> (a -> Maybe b) -> Maybe b  
applyMaybe Nothing f  = Nothing  
applyMaybe (Just x) f = f x

我們套用一個 infix 函數，這樣 Maybe 的值可以寫在左邊且函數是在右邊：

ghci> Just 3 `applyMaybe` \x -> Just (x+1)  
Just 4  
ghci> Just "smile" `applyMaybe` \x -> Just (x ++ " :")""  
Just "smile :""  
ghci> Nothing `applyMaybe` \x -> Just (x+1)  
Nothing  
ghci> Nothing `applyMaybe` \x -> Just (x ++ " :")")  
Nothing

在上述的範例中，我們看到在套用 applyMaybe 的時候，函數是套用在 Just 裡面的值。當我們試圖套用到 Nothing，那整個結果便是 Nothing。假如函數回傳 Nothing 呢？

ghci> Just 3 `applyMaybe` \x -> if x > 2 then Just x else Nothing  
Just 3  
ghci> Just 1 `applyMaybe` \x -> if x > 2 then Just x else Nothing  
Nothing

這正是我們期待的結果。如果左邊的 monadic value 是 Nothing，那整個結果就是 Nothing。如果右邊的函數是 Nothing，那結果也會是 Nothing。這跟我們之前把 Maybe 當作 applicative 時，過程中有任何一個 Nothing 整個結果就會是 Nothing 一樣。

對於 Maybe 而言，我們已經找到一個方法處理漂亮值的方式。我們作到這件事的同時，也保留了 Maybe 代表可能造成錯誤的計算的意義。

你可能會問，這樣的結果有用嗎？由於 applicative functors 讓我們可以拿一個接受普通值的函數，並讓他可以操作具有 context 的值，這樣看起來 applicative functors 好像比 monad 強。但我們會看到 monad 也能作到，因為他只是 applicative functors 的升級版。他們同時也能作到 applicative functors 不能作到的事情。

稍候我們會再繼續探討 Maybe，但我們先來看看 monad 的 type class。

Monad type class

正如 functors 有 Functor 這個 type class，而 applicative functors 有一個 Applicative 這個 type class，monad 也有他自己的 type class：Monad 他看起來像這樣：

class Monad m where  
    return :: a -> m a  

    (>>=) :: m a -> (a -> m b) -> m b  

    (>>) :: m a -> m b -> m b  
    x >> y = x >>= \_ -> y  

    fail :: String -> m a  
    fail msg = error msg

我們從第一行開始看。他說 class Monad m where。但我們之前不是提到 monad 是 applicative functors 的加強版嗎？不是應該有一個限制說一個型態必須先是一個 applicative functor 才可能是一個 monad 嗎？像是 class (Applicative m) = > Monad m where。他的確應該要有，但當 Haskell 被創造的早期，人們沒有想到 applicative functor 適合被放進語言中，所以最後沒有這個限制。但的確每個 monad 都是 applicative functor，即使 Monad 並沒有這麼宣告。

在 Monad typeclass 中定義的第一個函數是 return。他其實等價於 pure，只是名字不同罷了。他的型態是 (Monad m) => a -> m a。他接受一個普通值並把他放進一個最小的 context 中。也就是說他把普通值包進一個 monad 裡面。他跟 Applicative 裡面 pure 函數做的事情一樣，所以說其實我們已經認識了 return。我們已經用過 return 來處理一些 I/O。我們用他來做一些假的 I/O，印出一些值。對於 Maybe 來說他就是接受一個普通值然後包進 Just。

提醒一下：``return`` 跟其他語言中的 ``return`` 是完全不一樣的。他並不是結束一個函數的執行，他只不過是把一個普通值包進一個 context 裡面。

接下來定義的函數是 bind: >>=。他就像是函數套用一樣，只差在他不接受普通值，他是接受一個 monadic value（也就是具有 context 的值）並且把他餵給一個接受普通值的函數，並回傳一個 monadic value。

接下來，我們定義了 >>。我們不會介紹他，因為他有一個事先定義好的實作，基本上我們在實作 Monad typeclass 的時候都不會去理他。

最後一個函數是 fail。我們通常在我們程式中不會具體寫出來。他是被 Haskell 用在處理語法錯誤的情況。我們目前不需要太在意 fail。

我們知道了 Monad typeclass 長什麼樣子，我們來看一下 Maybe 的 Monad instance。

instance Monad Maybe where  
    return x = Just x  
    Nothing >>= f = Nothing  
    Just x >>= f  = f x  
    fail _ = Nothing

return跟pure是等價的。這沒什麼困難的。我們跟我們在定義Applicative的時候做一樣的事，只是把他用Just包起來。

>>=跟我們的applyMaybe是一樣的。當我們將Maybe a塞給我們的函數，我們保留住context，並且在輸入是Nothing的時候回傳Nothing。畢竟當沒有值的時候套用我們的函數是沒有意義的。當輸入是Just的時候則套用f並將他包在Just裡面。

我們可以試著感覺一下Maybe是怎樣表現成Monad的。

ghci> return "WHAT" :: Maybe String  
Just "WHAT"  
ghci> Just 9 >>= \x -> return (x*10)  
Just 90  
ghci> Nothing >>= \x -> return (x*10)  
Nothing

第一行沒什麼了不起，我們已經知道 return 就是 pure 而我們又對 Maybe 操作過 pure 了。至於下兩行就比較有趣點。

留意我們是如何把 Just 9 餵給 \x -> return (x*10)。在函數中 x 綁定到 9。他看起好像我們能不用 pattern matching 的方式就從 Maybe 中抽取出值。但我們並沒有喪失掉 Maybe 的 context，當他是 Nothing 的時候，>>= 的結果也會是 Nothing。

走鋼索

我們已經知道要如何把 Maybe a 餵進 a -> Maybe b 這樣的函數。我們可以看看我們如何重複使用 >>= 來處理多個 Maybe a 的值。

首先來說個小故事。皮爾斯決定要辭掉他的工作改行試著走鋼索。他對走鋼索蠻在行的，不過仍有個小問題。就是鳥會停在他拿的平衡竿上。他們會飛過來停一小會兒，然後再飛走。這樣的情況在兩邊的鳥的數量一樣時並不是個太大的問題。但有時候，所有的鳥都會想要停在同一邊，皮爾斯就失去了平衡，就會讓他從鋼索上掉下去。

我們這邊假設兩邊的鳥差異在三個之內的時候，皮爾斯仍能保持平衡。所以如果是右邊有一隻，左邊有四隻的話，那還撐得住。但如果左邊有五隻，那就會失去平衡。

我們要寫個程式來模擬整個情況。我們想看看皮爾斯究竟在好幾隻鳥來來去去後是否還能撐住。例如說，我們想看看先來了一隻鳥停在左邊，然後來了四隻停在右邊，然後左邊那隻飛走了。之後會是什麼情形。

我們用一對整數來代表我們的平衡竿狀態。頭一個位置代表左邊的鳥的數量，第二個位置代表右邊的鳥的數量。

type Birds = Int  
type Pole = (Birds,Birds)

由於我們用整數來代表有多少隻鳥，我們便先來定義 Int 的同義型態，叫做 Birds。然後我們把 (Birds, Birds) 定義成 Pole。

接下來，我們定義一個函數他接受一個數字，然後把他放在竿子的左邊，還有另外一個函數放在右邊。

landLeft :: Birds -> Pole -> Pole  
landLeft n (left,right) = (left + n,right)  

landRight :: Birds -> Pole -> Pole  
landRight n (left,right) = (left,right + n)

我們來試著執行看看：

ghci> landLeft 2 (0,0)  
(2,0)  
ghci> landRight 1 (1,2)  
(1,3)  
ghci> landRight (-1) (1,2)  
(1,1)

要模擬鳥飛走的話我們只要給定一個負數就好了。 由於這些操作是接受 Pole 並回傳 Pole， 所以我們可以把函數串在一起。

ghci> landLeft 2 (landRight 1 (landLeft 1 (0,0)))  
(3,1)

當我們餵 (0,0) 給 landLeft 1 時，我們會得到 (1,0)。接著我們模擬右邊又停了一隻鳥，狀態就變成 (1,1)。最後又有兩隻鳥停在左邊，狀態變成 (3,1)。我們這邊的寫法是先寫函數名稱，然後再套用參數。但如果先寫 pole 再寫函數名稱會比較清楚，所以我們會想定義一個函數

x -: f = f x

我們能先套用參數然後再寫函數名稱：

ghci> 100 -: (*3)  
300  
ghci> True -: not  
False  
ghci> (0,0) -: landLeft 2  
(2,0)

有了這個函數，我們便能寫得比較好讀一些：

ghci> (0,0) -: landLeft 1 -: landRight 1 -: landLeft 2  
(3,1)

這個範例跟先前的範例是等價的，只不過好讀許多。很清楚的看出我們是從 (0,0) 開始，然後停了一隻在左邊，接著右邊又有一隻，最後左邊多了兩隻。

到目前為止沒什麼問題，但如果我們要停 10 隻在左邊呢？

ghci> landLeft 10 (0,3)  
(10,3)

你說左邊有 10 隻右邊卻只有 3 隻？那不是早就應該掉下去了？這個例子太明顯了，如果換個比較不明顯的例子。

ghci> (0,0) -: landLeft 1 -: landRight 4 -: landLeft (-1) -: landRight (-2)  
(0,2)

表面看起來沒什麼問題，但如果你仔細看的話，有一瞬間是右邊有四隻，但左邊沒有鳥。要修正這個錯誤，我們要重新檢視 landLeft 跟 landRight。我們其實是希望這些函數產生失敗的情況。那就是在維持平衡的時候回傳新的 pole，但失敗的時候告訴我們失敗了。這時候 Maybe 就剛剛好是我們要的 context 了。我們用 Maybe 重新寫一次：

landLeft :: Birds -> Pole -> Maybe Pole  
landLeft n (left,right)  
    | abs ((left + n) - right) < 4 = Just (left + n, right)  
    | otherwise                    = Nothing  

landRight :: Birds -> Pole -> Maybe Pole  
landRight n (left,right)  
    | abs (left - (right + n)) < 4 = Just (left, right + n)  
    | otherwise                    = Nothing

現在這些函數不回傳 Pole 而回傳 Maybe Pole 了。他們仍接受鳥的數量跟舊的的 pole，但他們現在會檢查是否有太多鳥會造成皮爾斯失去平衡。我們用 guards 來檢查是否有差異超過三的情況。如果沒有，那就包一個在 Just 中的新的 pole，如果是，那就回傳 Nothing。

再來執行看看：

ghci> landLeft 2 (0,0)  
Just (2,0)  
ghci> landLeft 10 (0,3)  
Nothing

一如預期，當皮爾斯不會掉下去的時候，我們就得到一個包在 Just 中的新 pole。當太多鳥停在同一邊的時候，我們就會拿到 Nothing。這樣很棒，但我們卻不知道怎麼把東西串在一起了。我們不能做 landLeft 1 (landRight 1 (0,0))，因為當我們對 (0,0) 使用 landRight 1 時，我們不是拿到 Pole 而是拿到 Maybe Pole。landLeft 1 會拿到 Pole 而不是拿到 Maybe Pole。

我們需要一種方法可以把拿到的 Maybe Pole 塞到拿 Pole 的函數中，然後回傳 Maybe Pole。而我們有 >>=，他對 Maybe 做的事就是我們要的

ghci> landRight 1 (0,0) >>= landLeft 2  
Just (2,1)

landLeft 2 的型態是 Pole -> Maybe Pole。我們不能餵給他 Maybe Pole 的東西。而 landRight 1 (0,0) 的結果就是 Maybe Pole，所以我們用 >>= 來接受一個有 context 的值然後拿給 landLeft 2。>>= 的確讓我們把 Maybe 當作有 context 的值，因為當我們丟 Nothing 給 landLeft 2 的時候，結果會是 Nothing。

ghci> Nothing >>= landLeft 2  
Nothing

這樣我們可以把這些新寫的用 >>= 串在一起。讓 monadic value 可以餵進只吃普通值的函數。

來看看些例子：

ghci> return (0,0) >>= landRight 2 >>= landLeft 2 >>= landRight 2  
Just (2,4)

我們最開始用 return 回傳一個 pole 並把他包在 Just 裡面。我們可以像往常套用 landRight 2，不過我們不那麼做，我們改用 >>=。Just (0,0) 被餵到 landRight 2，得到 Just (0,2)。接著被餵到 landLeft 2，得到 Just (2,2)。

還記得我們之前引入失敗情況的例子嗎？

ghci> (0,0) -: landLeft 1 -: landRight 4 -: landLeft (-1) -: landRight (-2)  
(0,2)

之前的例子並不會反應失敗的情況。但如果我們用 >>= 的話就可以得到失敗的結果。

ghci> return (0,0) >>= landLeft 1 >>= landRight 4 >>= landLeft (-1) >>= landRight (-2)  
Nothing

正如預期的，最後的情形代表了失敗的情況。我們再進一步看看這是怎麼產生的。首先 return 把 (0,0) 放到一個最小的 context 中，得到 Just (0,0)。然後是 Just (0.0) >>= landLeft 1。由於 Just (0,0) 是一個 Just 的值。landLeft 1 被套用至 (0,0) 而得到 Just (1,0)。這反應了我們仍保持在平衡的狀態。接著是 Just (1,0) >>= landright 4 而得到了 Just (1,4)。距離不平衡只有一步之遙了。他又被餵給 landLeft (-1)，這組合成了 landLeft (-1) (1,4)。由於失去了平衡，我們變得到了 Nothing。而我們把 Nothing 餵給 landRight (-2)，由於他是 Nothing，也就自動得到了 Nothing。

如果只把 Maybe 當作 applicative 用的話是沒有辦法達到我們要的效果的。你試著做一遍就會卡住。因為 applicative functor 並不允許 applicative value 之間有彈性的互動。他們最多就是讓我們可以用 applicative style 來傳遞參數給函數。applicative operators 能拿到他們的結果並把他用 applicative 的方式餵給另一個函數，並把最終的 applicative 值放在一起。但在每一步之間並沒有太多允許我們作手腳的機會。而我們的範例需要每一步都倚賴前一步的結果。當每一隻鳥降落的時候，我們都會把前一步的結果拿出來看看。好知道結果到底應該成功或失敗。

我們也能寫出一個函數，完全不管現在究竟有幾隻鳥停在竿子上，只是要害皮爾斯滑倒。我們可以稱呼這個函數叫做 banana：

banana :: Pole -> Maybe Pole  
banana _ = Nothing

現在我們能把香蕉皮串到我們的過程中。他絕對會讓遇到的人滑倒。他完全不管前面的狀態是什麼都會產生失敗。

ghci> return (0,0) >>= landLeft 1 >>= banana >>= landRight 1  
Nothing

Just (1,0) 被餵給 banana，而產生了 Nothing，之後所有的結果便都是 Nothing 了。

要同樣表示這種忽略前面的結果，只注重眼前的 monadic value 的情況，其實我們可以用 >> 來表達。

(>>) :: (Monad m) => m a -> m b -> m b  
m >> n = m >>= \_ -> n

一般來講，碰到一個完全忽略前面狀態的函數，他就應該只會回傳他想回傳的值而已。但碰到 Monad，他們的 context 還是必須要被考慮到。來看一下 >> 串接 Maybe 的情況。

ghci> Nothing >> Just 3  
Nothing  
ghci> Just 3 >> Just 4  
Just 4  
ghci> Just 3 >> Nothing  
Nothing

如果你把 >> 換成 >>= \_ ->，那就很容易看出他的意思。

我們也可以把 banana 改用 >> 跟 Nothing 來表達：

ghci> return (0,0) >>= landLeft 1 >> Nothing >>= landRight 1  
Nothing

我們得到了保證的失敗。

我們也可以看看假如我們故意不用把 Maybe 視為有 context 的值的寫法。他會長得像這樣：

routine :: Maybe Pole  
routine = case landLeft 1 (0,0) of  
    Nothing -> Nothing  
    Just pole1 -> case landRight 4 pole1 of   
            Nothing -> Nothing  
            Just pole2 -> case landLeft 2 pole2 of  
                    Nothing -> Nothing  
                    Just pole3 -> landLeft 1 pole3

左邊先停了一隻鳥，然後我們停下來檢查有沒有失敗。當失敗的時候我們回傳 Nothing。當成功的時候，我們在右邊停一隻鳥，然後再重複前面做的事情。把這些瑣事轉換成 >>= 證明了 Maybe Monad 的力量，可以省去我們不少的時間。

注意到 Maybe 對 >>= 的實作，他其實就是在做碰到 Nothing 就會傳 Nothing，碰到正確值就繼續用 Just 傳遞值。

在這個章節中，我們看過了好幾個函數，也見識了用 Maybe monad 來表示失敗的 context 的力量。把普通的函數套用換成了 >>=，讓我們可以輕鬆地應付可能會失敗的情況，並幫我們傳遞 context。這邊的 context 就代表失敗的可能性，當我們套用函數到 context 的時候，就代表考慮進了失敗的情況。

do 表示法

Monad 在 Haskell 中是十分重要的，所以我們還特別為了操作他設置了特別的語法：do 表示法。我們在介紹 I/O 的時候已經用過 do 來把小的 I/O action 串在一起了。其實 do 並不只是可以用在 IO，他可以用在任何 monad 上。他的原則是簡單明瞭，把 monadic value 串成一串。我們這邊來細看 do 是如何使用，以及為什麼我們十分倚賴他。

來看一下熟悉的例子：

ghci> Just 3 >>= (\x -> Just (show x ++ "!"))  
Just "3!"

你說這沒什麼了不起，不過就是把 monadic value 餵給一個函數罷了。其中 x 就指定成 3。也從 monadic value 變成了普通值。那如果我們要在 lambda 中使用 >>= 呢？

ghci> Just 3 >>= (\x -> Just "!" >>= (\y -> Just (show x ++ y)))  
Just "3!"

我們嵌一個 >>= 在另外一個 >>= 中。在外層的 lambda，我們把 Just "!" 餵給 \y -> Just (show x ++ y)。在內層的 lambda，y 被指定成 "!"。x 仍被指定成 3，是因為我們是從外層的 lambda 取值的。這些行為讓我們回想到下列式子：

ghci> let x = 3; y = "!" in show x ++ y  
"3!"

差別在於前述的值是 monadic，具有失敗可能性的 context。我們可以把其中任何一步代換成失敗的狀態：

ghci> Nothing >>= (\x -> Just "!" >>= (\y -> Just (show x ++ y)))  
Nothing  
ghci> Just 3 >>= (\x -> Nothing >>= (\y -> Just (show x ++ y)))  
Nothing  
ghci> Just 3 >>= (\x -> Just "!" >>= (\y -> Nothing))  
Nothing

第一行中，把 Nothing 餵給一個函數，很自然地會回傳 Nothing。第二行裡，我們把 Just 3 餵給一個函數，所以 x 就成了 3。但我們把 Nothing 餵給內層的 lambda 所有的結果就成了 Nothing，這也進一步使得外層的 lambda 成了 Nothing。這就好比我們在 let expression 中來把值指定給變數一般。只差在我們這邊的值是 monadic value。

要再說得更清楚點，我們來把 script 改寫成每行都處理一個 Maybe：

foo :: Maybe String  
foo = Just 3   >>= (\x -> 
      Just "!" >>= (\y -> 
      Just (show x ++ y)))

為了擺脫這些煩人的 lambda，Haskell 允許我們使用 do 表示法。他讓我們可以把先前的程式寫成這樣：

foo :: Maybe String  
foo = do  
    x <- Just 3  
    y <- Just "!"  
    Just (show x ++ y)

這看起來好像讓我們不用在每一步都去檢查 Maybe 的值究竟是 Just 或 Nothing。這蠻方便的，如果在任何一個步驟我們取出了 Nothing。那整個 do 的結果就會是 Nothing。我們把整個責任都交給 >>=，他會幫我們處理所有 context 的問題。這邊的 do 表示法不過是另外一種語法的形式來串連所有的 monadic value 罷了。

在 do expression 中，每一行都是一個 monadic value。要檢查處理的結果的話，就要使用 <-。如果我們拿到一個 Maybe String，並用 <- 來綁定給一個變數，那個變數就會是一個 String，就像是使用 >>= 來將 monadic value 帶給 lambda 一樣。至於 do expression 中的最後一個值，好比說 Just (show x ++ y)，就不能用 <- 來綁定結果，因為那樣的寫法當轉換成 >>= 的結果時並不合理。他必須要是所有 monadic value 黏起來後的總結果，要考慮到前面所有可能失敗的情形。

舉例來說，來看看下面這行：

ghci> Just 9 >>= (\x -> Just (x > 8))  
Just True

由於 >>= 左邊的參數是一個 Just 型態的值，當 lambda 被套用至 9 就會得到 Just True。如果我們重寫整個式子，改用 do 表示法：我們會得到：

marySue :: Maybe Bool  
marySue = do   
    x <- Just 9  
    Just (x > 8)

如果我們比較這兩種寫法，就很容易看出為什麼整個 monadic value 的結果會是在 do 表示法中最後一個 monadic value 的值。他串連了全面所有的結果。

我們走鋼索的模擬程式也可以改用 do 表示法重寫。landLeft 跟 landRight 接受一個鳥的數字跟一個竿子來產生一個包在 Just 中新的竿子。而在失敗的情況會產生 Nothing。我們使用 >>= 來串連所有的步驟，每一步都倚賴前一步的結果，而且都帶有可能失敗的 context。這邊有一個範例，先是有兩隻鳥停在左邊，接著有兩隻鳥停在右邊，然後是一隻鳥停在左邊：

routine :: Maybe Pole  
routine = do  
    start <- return (0,0)  
    first <- landLeft 2 start  
    second <- landRight 2 first  
    landLeft 1 second

我們來看看成功的結果：

ghci> routine  
Just (3,2)

當我們要把這些 routine 用具體寫出的 >>=，我們會這樣寫：return (0,0) >>= landLeft 2，而有了 do 表示法，每一行都必須是一個 monadic value。所以我們清楚地把前一個 Pole 傳給 landLeft 跟 landRight。如果我們檢視我們綁定 Maybe 的變數，start 就是 (0,0)，而 first 就會是 (2,0)。

由於 do 表示法是一行一行寫，他們會看起來很像是命令式的寫法。但實際上他們只是代表序列而已，每一步的值都倚賴前一步的結果，並帶著他們的 context 繼續下去。

我們再重新來看看如果我們沒有善用 Maybe 的 monad 性質的程式：

routine :: Maybe Pole  
    routine =   
        case Just (0,0) of   
            Nothing -> Nothing  
            Just start -> case landLeft 2 start of  
                Nothing -> Nothing  
                Just first -> case landRight 2 first of  
                    Nothing -> Nothing  
                    Just second -> landLeft 1 second

在成功的情形下，Just (0,0) 變成了 start， 而 landLeft 2 start 的結果成了 first。

如果我們想在 do 表示法裡面對皮爾斯丟出香蕉皮，我們可以這樣做：

routine :: Maybe Pole  
routine = do  
    start <- return (0,0)  
    first <- landLeft 2 start  
    Nothing  
    second <- landRight 2 first  
    landLeft 1 second

當我們在 do 表示法寫了一行運算，但沒有用到 <- 來綁定值的話，其實實際上就是用了 >>，他會忽略掉計算的結果。我們只是要讓他們有序，而不是要他們的結果，而且他比寫成 _ <- Nothing 要來得漂亮的多。

你會問究竟我們何時要使用 do 表示法或是 >>=，這完全取決於你的習慣。在這個例子由於有每一步都倚賴於前一步結果的特性，所以我們使用 >>=。如果用 do 表示法，我們就必須清楚寫出鳥究竟是停在哪根竿子上，但其實每一次都是前一次的結果。不過他還是讓我們了解到怎麼使用 do。

在 do 表示法中，我們其實可以用模式匹配來綁定 monadic value，就好像我們在 let 表達式，跟函數參數中使用模式匹配一樣。這邊來看一個在 do 表示法中使用模式匹配的範例：

justH :: Maybe Char  
justH = do  
    (x:xs) <- Just "hello"  
    return x

我們用模式匹配來取得 "hello" 的第一個字元，然後回傳結果。所以 justH 計算會得到 Just 'h'。

如果模式匹配失敗怎麼辦？當定義一個函數的時候，一個模式不匹配就會跳到下一個模式。如果所有都不匹配，那就會造成錯誤，整個程式就當掉。另一方面，如果在 let 中進行模式匹配失敗會直接造成錯誤。畢竟在 let 表達式的情況下並沒有失敗就跳下一個的設計。至於在 do 表示法中模式匹配失敗的話，那就會呼叫 fail 函數。他定義在 Monad 的 type class 定義豬。他允許在現在的 monad context 底下，失敗只會造成失敗而不會讓整個程式當掉。他預設的實作如下：

fail :: (Monad m) => String -> m a  
fail msg = error msg

可見預設的實作的確是讓程式掛掉，但在某些考慮到失敗的可能性的 Monad（像是 Maybe）常常會有他們自己的實作。對於 Maybe，他的實作像是這樣：

fail _ = Nothing

他忽略錯誤訊息，並直接回傳 Nothing。所以當在 do 表示法中的 Maybe 模式匹配失敗的時候，整個結果就會是 Nothing。這種方式比起讓程式掛掉要好多了。這邊來看一下 Maybe 模式匹配失敗的範例：

wopwop :: Maybe Char  
wopwop = do  
    (x:xs) <- Just ""  
    return x

模式匹配的失敗，所以那一行的效果相當於一個 Nothing。我們來看看執行結果：

ghci> wopwop  
Nothing

這樣模式匹配的失敗只會限制在我們 monad 的 context 中，而不是整個程式的失敗。這種處理方式要好多了。

List Monad

我們已經了解了 Maybe 可以被看作具有失敗可能性 context 的值，也見識到如何用 >>= 來把這些具有失敗考量的值傳給函數。在這一個章節中，我們要看一下如何利用 list 的 monadic 的性質來寫 non-deterministic 的程式。

我們已經討論過在把 list 當作 applicatives 的時候他們具有 non-deterministic 的性質。像 5 這樣一個值是 deterministic 的。他只有一種結果，而且我們清楚的知道他是什麼結果。另一方面，像 [3,8,9] 這樣的值包含好幾種結果，所以我們能把他看作是同時具有好幾種結果的值。把 list 當作 applicative functors 展示了這種特性：

ghci> (*) <$> [1,2,3] <*> [10,100,1000]  
[10,100,1000,20,200,2000,30,300,3000]

將左邊 list 中的元素乘上右邊 list 中的元素這樣所有的組合全都被放進結果的 list 中。當處理 non-determinism 的時候，這代表我們有好幾種選擇可以選，我們也會每種選擇都試試看，因此最終的結果也會是一個 non-deterministic 的值。只是包含更多不同可能罷了。

non-determinism 這樣的 context 可以被漂亮地用 monad 來考慮。所以我們這就來看看 list 的 Monad instance 的定義：

instance Monad [] where  
    return x = [x]  
    xs >>= f = concat (map f xs)  
    fail _ = []

return 跟 pure 是做同樣的事，所以我們應該算已經理解了 return 的部份。他接受一個值，並把他放進一個最小的一個 context 中。換種說法，就是他做了一個只包含一個元素的 list。這樣對於我們想要操作普通值的時候很有用，可以直接把他包起來變成 non-deterministic value。

要理解 >>= 在 list monad 的情形下是怎麼運作的，讓我們先來回歸基本。>>= 基本上就是接受一個有 context 的值，把他餵進一個只接受普通值的函數，並回傳一個具有 context 的值。如果操作的函數只會回傳普通值而不是具有 context 的值，那 >>= 在操作一次後就會失效，因為 context 不見了。讓我們來試著把一個 non-deterministic value 塞到一個函數中：

ghci> [3,4,5] >>= \x -> [x,-x]  
[3,-3,4,-4,5,-5]

當我們對 Maybe 使用 >>=，是有考慮到可能失敗的 context。在這邊 >>= 則是有考慮到 non-determinism。[3,4,5] 是一個 non-deterministic value，我們把他餵給一個回傳 non-deterministic value 的函數。那結果也會是 non-deterministic。而且他包含了所有從 [3,4,5] 取值，套用 \x -> [x,-x] 後的結果。這個函數他接受一個數值並產生兩個數值，一個原來的數值與取過負號的數值。當我們用 >>= 來把一個 list 餵給這個函數，所有在 list 中的數值都保留了原有的跟取負號過的版本。x 會針對 list 中的每個元素走過一遍。

要看看結果是如何算出來的，只要看看實作就好了。首先我們從 [3,4,5] 開始。然後我們用 lambda 映射過所有元素得到：

[[3,-3],[4,-4],[5,-5]]

lambda 會掃過每個元素，所以我們有一串包含一堆 list 的 list，最後我們在把這些 list 壓扁，得到一層的 list。這就是我們得到 non-deterministic value 的過程。

non-determinism 也有考慮到失敗的可能性。[] 其實等價於 Nothing，因為他什麼結果也沒有。所以失敗等同於回傳一個空的 list。所有的錯誤訊息都不用。讓我們來看看範例：

ghci> [] >>= \x -> ["bad","mad","rad"]  
[]  
ghci> [1,2,3] >>= \x -> []  
[]

第一行裡面，一個空的 list 被丟給 lambda。因為 list 沒有任何元素，所以函數收不到任何東西而產生空的 list。這跟把 Nothing 餵給函數一樣。第二行中，每一個元素都被餵給函數，但所有元素都被丟掉，而只回傳一個空的 list。因為所有的元素都造成了失敗，所以整個結果也代表失敗。

就像 Maybe 一樣，我們可以用 >>= 把他們串起來：

ghci> [1,2] >>= \n -> ['a','b'] >>= \ch -> return (n,ch)  
[(1,'a'),(1,'b'),(2,'a'),(2,'b')]

[1,2] 被綁定到 n 而 ['a','b'] 被綁定到 ch。最後我們用 return (n,ch) 來把他放到一個最小的 context 中。在這個案例中，就是把 (n,ch) 放到 list 中，這代表最低程度的 non-determinism。整套結構要表達的意思就是對於 [1,2] 的每個元素，以及 ['a','b'] 的每個元素，我們產生一個 tuple，每項分別取自不同的 list。

一般來說，由於 return 接受一個值並放到最小的 context 中，他不會多做什麼額外的東西僅僅是展示出結果而已。

當你要處理 non-deterministic value 的時候，你可以把 list 中的每個元素想做計算路線的一個 branch。

這邊把先前的表達式用 do 重寫：

listOfTuples :: [(Int,Char)]  
listOfTuples = do  
    n <- [1,2]  
    ch <- ['a','b']  
    return (n,ch)

這樣寫可以更清楚看到 n 走過 [1,2] 中的每一個值，而 ch 則取過 ['a','b'] 中的每個值。正如 Maybe 一般，我們從 monadic value 中取出普通值然後餵給函數。>>= 會幫我們處理好一切 context 相關的問題，只差在這邊的 context 指的是 non-determinism。

使用 do 來對 list 操作讓我們回想起之前看過的一些東西。來看看下列的片段：

ghci> [ (n,ch) | n <- [1,2], ch <- ['a','b'] ]  
[(1,'a'),(1,'b'),(2,'a'),(2,'b')]

沒錯，就是 list comprehension。在先前的範例中，n 會走過 [1,2] 的每個元素，而 ch 會走過 ['a','b'] 的每個元素。同時我們又把 (n,ch) 放進一個 context 中。這跟 list comprehension 的目的一樣，只是我們在 list comprehension 裡面不用在最後寫一個 return 來得到 (n,ch) 的結果。

實際上，list comprehension 不過是一個語法糖。不論是 list comprehension 或是用 do 表示法來表示，他都會轉換成用 >>= 來做計算。

List comprehension 允許我們 filter 我們的結果。舉例來說，我們可以只要包含 7 在表示位數裡面的數值。

ghci> [ x | x <- [1..50], '7' `elem` show x ]  
[7,17,27,37,47]

我們用 show 跟 x 來把數值轉成字串，然後檢查 '7' 是否包含在字串裡面。要看看 filtering 要如何轉換成用 list monad 來表達，我們可以考慮使用 guard 函數，還有 MonadPlus 這個 type class。MonadPlus 這個 type class 是用來針對可以同時表現成 monoid 的 monad。下面是他的定義：

class Monad m => MonadPlus m where  
    mzero :: m a  
    mplus :: m a -> m a -> m a

mzero 是其實是 Monoid 中 mempty 的同義詞，而 mplus 則對應到 mappend。因為 list 同時是 monoid 跟 monad，他們可以是 MonadPlus 的 instance。

instance MonadPlus [] where  
    mzero = []  
    mplus = (++)

對於 list 而言，mzero 代表的是不產生任何結果的 non-deterministic value，也就是失敗的結果。而 mplus 則把兩個 non-deterministic value 結合成一個。guard 這個函數被定義成下列形式：

guard :: (MonadPlus m) => Bool -> m ()  
guard True = return ()  
guard False = mzero

這函數接受一個布林值，如果他是 True 就回傳一個包在預設 context 中的 ()。如果他失敗就產生 mzero。

ghci> guard (5 > 2) :: Maybe ()  
Just ()  
ghci> guard (1 > 2) :: Maybe ()  
Nothing  
ghci> guard (5 > 2) :: [()]  
[()]  
ghci> guard (1 > 2) :: [()]  
[]

看起來蠻有趣的，但用起來如何呢？我們可以用他來過濾 non-deterministic 的計算。

ghci> [1..50] >>= (\x -> guard ('7' `elem` show x) >> return x)  
[7,17,27,37,47]

這邊的結果跟我們之前 list comprehension 的結果一致。究竟 guard 是如何辦到的？我們先看看 guard 跟 >> 是如何互動：

ghci> guard (5 > 2) >> return "cool" :: [String]  
["cool"]  
ghci> guard (1 > 2) >> return "cool" :: [String]  
[]

如果 guard 成功的話，結果就會是一個空的 tuple。接著我們用 >> 來忽略掉空的 tuple，而呈現不同的結果。另一方面，如果 guard 失敗的話，後面的 return 也會失敗。這是因為用 >>= 把空的 list 餵給函數總是會回傳空的 list。基本上 guard 的意思就是：如果一個布林值是 False 那就產生一個失敗狀態，不然的話就回傳一個基本的 ()。這樣計算就可以繼續進行。

這邊我們把先前的範例用 do 改寫：

sevensOnly :: [Int]  
sevensOnly = do  
    x <- [1..50]  
    guard ('7' `elem` show x)  
    return x

如果我們不寫最後一行 return x，那整個 list 就會是包含一堆空 tuple 的 list。

把上述範例寫成 list comprehension 的話就會像這樣：

ghci> [ x | x <- [1..50], '7' `elem` show x ]  
[7,17,27,37,47]

所以 list comprehension 的 filtering 基本上跟 guard 是一致的。

A knight's quest

這邊來看一個可以用 non-determinism 解決的問題。假設你有一個西洋棋盤跟一隻西洋棋中的騎士擺在上面。我們希望知道是否這隻騎士可以在三步之內移到我們想要的位置。我們只要用一對數值來表示騎士在棋盤上的位置。第一個數值代表棋盤的行，而第二個數值代表棋盤的列。

我們先幫騎士的位置定義一個 type synonym。

type KnightPos = (Int,Int)

假設騎士現在是在 (6,2)。究竟他能不能夠在三步內移動到 (6,1) 呢？你可能會先考慮究竟哪一步是最佳的一步。但不如全部一起考慮吧！要好好利用所謂的 non-determinism。所以我們不是只選擇一步，而是選擇全部。我們先寫一個函數回傳所有可能的下一步：

moveKnight :: KnightPos -> [KnightPos]  
moveKnight (c,r) = do  
    (c',r') <- [(c+2,r-1),(c+2,r+1),(c-2,r-1),(c-2,r+1)  
                ,(c+1,r-2),(c+1,r+2),(c-1,r-2),(c-1,r+2)  
                ]  
    guard (c' `elem` [1..8] && r' `elem` [1..8])
    return (c',r')

騎士有可能水平或垂直移動一步或二步，但問題是他們必須要同時水平跟垂直移動。(c',r') 走過 list 中的每一個元素，而 guard 會保證產生的結果會停留在棋盤上。如果沒有，那就會產生一個空的 list，表示失敗的結果，return (c',r') 也就不會被執行。

這個函數也可以不用 list monad 來寫，但我們這邊只是寫好玩的。下面是一個用 filter 實現的版本：

moveKnight :: KnightPos -> [KnightPos]  
moveKnight (c,r) = filter onBoard  
    [(c+2,r-1),(c+2,r+1),(c-2,r-1),(c-2,r+1)  
    ,(c+1,r-2),(c+1,r+2),(c-1,r-2),(c-1,r+2)  
    ]  
    where onBoard (c,r) = c `elem` [1..8] && r `elem` [1..8]

兩個函數做的都是相同的事，所以選個你喜歡的吧。

ghci> moveKnight (6,2)  
[(8,1),(8,3),(4,1),(4,3),(7,4),(5,4)]  
ghci> moveKnight (8,1)  
[(6,2),(7,3)]

我們接受一個位置然後產生所有可能的移動方式。所以我們有一個 non-deterministic 的下一個位置。我們用 >>= 來餵給 moveKnight。接下來我們就可以寫一個三步內可以達到的所有位置：

in3 :: KnightPos -> [KnightPos]  
in3 start = do   
    first <- moveKnight start  
    second <- moveKnight first  
    moveKnight second

如果你傳 (6,2)，得到的 list 會很大，因為會有不同種方式來走到同樣的一個位置。我們也可以不用 do 來寫：

in3 start = return start >>= moveKnight >>= moveKnight >>= moveKnight

第一次 >>= 給我們移動一步的所有結果，第二次 >>= 給我們移動兩步的所有結果，第三次則給我們移動三步的所有結果。

用 return 來把一個值放進預設的 context 然後用 >>= 餵給一個函數其實跟函數呼叫是同樣的，只是用不同的寫法而已。 接著我們寫一個函數接受兩個位置，然後可以測試是否可以在三步內從一個位置移到另一個位置：

canReachIn3 :: KnightPos -> KnightPos -> Bool  
canReachIn3 start end = end `elem` in3 start

我們產生所有三步的可能位置，然後看看其中一個位置是否在裡面。所以我們可以看看是否可以在三步內從 (6,2) 走到 (6,1)：

ghci> (6,2) `canReachIn3` (6,1)  
True

那從 (6,2) 到 (7,3) 呢？

ghci> (6,2) `canReachIn3` (7,3)  
False

答案是不行。你可以修改函數改成當可以走到的時候，他還會告訴你實際的步驟。之後你也可以改成不只限定成三步，可以任意步。

Monad laws (單子律)

正如 applicative functors 以及 functors，Monad 也有一些要遵守的定律。我們定義一個 Monad 的 instance 並不代表他是一個 monad，只代表他被定義成那個 type class 的 instance。一個型態要是 monad，則必須遵守單子律。這些定律讓我們可以對這個型態的行為做一些合理的假設。

Haskell 允許任何型態是任何 type class 的 instance。但他不會檢查單子律是否有被遵守，所以如果我們要寫一個 Monad 的 instance，那最好我們確定他有遵守單子律。我們可以不用擔心標準函式庫中的型態是否有遵守單子律。但之後我們定義自己的型態時，我們必須自己檢查是否有遵守單子律。不用擔心，他們不會很複雜。

Left identity

單子律的第一項說當我們接受一個值，將他用 return 放進一個預設的 context 並把他用 >>= 餵進一個函數的結果，應該要跟我們直接做函數呼叫的結果一樣。

• retrun x >>= f 應該等於 f x

如果你是把 monadic value 視為把一個值放進最小的 context 中，僅僅是把同樣的值放進結果中的話， 那這個定律應該很直覺。因為把這個值放進 context 中然後丟給函數，應該要跟直接把這個值丟給函數做呼叫應該沒有差別。

對於 Maybe monad，return 被定義成 Just。Maybe monad 講的是失敗的可能性，如果我們有普通值要把他放進 context 中，那把這個動作當作是計算成功應該是很合理的，畢竟我們都知道那個值是很具體的。這邊有些範例：

ghci> return 3 >>= (\x -> Just (x+100000))  
Just 100003  
ghci> (\x -> Just (x+100000)) 3  
Just 100003

對於 list monad 而言，return 是把值放進一個 list 中，變成只有一個元素的 list。>>= 則會走過 list 中的每個元素，並把他們丟給函數做運算，但因為在單一元素的 list 中只有一個值，所以跟直接對那元素做運算是等價的：

ghci> return "WoM" >>= (\x -> [x,x,x])  
["WoM","WoM","WoM"]  
ghci> (\x -> [x,x,x]) "WoM"  
["WoM","WoM","WoM"]

至於 IO，我們已經知道 return 並不會造成副作用，只不過是在結果中呈現原有值。所以這個定律對於 IO 也是有效的。

Right identity

單子律的第二個規則是如果我們有一個 monadic value，而且我們把他用 >>= 餵給 return，那結果就會是原有的 monadic value。

• m >>= return 會等於 m

這一個可能不像第一定律那麼明顯，但我們還是來看看為什麼會遵守這條。當我們把一個 monadic value 用 >>= 餵給函數，那些函數是接受普通值並回傳具有 context 的值。return 也是在他們其中。如果你仔細看他的型態，return 是把一個普通值放進一個最小 context 中。這就表示，對於 Maybe 他並沒有造成任何失敗的狀態，而對於 list 他也沒有多加 non-determinism。

ghci> Just "move on up" >>= (\x -> return x)  
Just "move on up"  
ghci> [1,2,3,4] >>= (\x -> return x)  
[1,2,3,4]  
ghci> putStrLn "Wah!" >>= (\x -> return x)  
Wah!

如果我們仔細檢視 list monad 的範例，會發現 >>= 的實作是：

xs >>= f = concat (map f xs)

所以當我們將 [1,2,3,4] 丟給 return，第一個 return 會把 [1,2,3,4] 映射成 [[1],[2],[3],[4]]，然後再把這些小 list 串接成我們原有的 list。

Left identity 跟 right identity 是描述 return 的行為。他重要的原因是因為他把普通值轉換成具有 context 的值，如果他出錯的話會很頭大。

Associativity

單子律最後一條是說當我們用 >>= 把一串 monadic function 串在一起，他們的先後順序不應該影響結果：

• (m >>= f) >>= g 跟 m >>= (\x -> f x >>= g) 是相等的

究竟這邊說的是什麼呢？我們有一個 monadic value m，以及兩個 monadic function f 跟 g。當我們寫下 (m >>= f) >>= g，代表的是我們把 m 餵給 f，他的結果是一個 monadic value。然後我們把這個結果餵給 g。而在 m >>= (\x -> f x >>= g) 中，我們接受一個 monadic value 然後餵給一個函數，這個函數會把 f x 的結果丟給 g。我們不太容易直接看出兩者相同，所以先來看個範例比較好理解。

還記得之前皮爾斯的範例嗎？要模擬鳥停在他的平衡竿上，我們把好幾個函數串在一起

ghci> return (0,0) >>= landRight 2 >>= landLeft 2 >>= landRight 2  
Just (2,4)

從 Just (0,0) 出發，然後把值傳給 landRight 2。他的結果又被綁到下一個 monadic function，以此類推。如果我們用括號清楚標出優先順序的話會是這樣：

ghci> ((return (0,0) >>= landRight 2) >>= landLeft 2) >>= landRight 2  
Just (2,4)

我們也可以改寫成這樣：

return (0,0) >>= (\x -> 
landRight 2 x >>= (\y -> 
landLeft 2 y >>= (\z -> 
landRight 2 z)))

return (0,0) 等價於 Just (0,0)，當我們把他餵給 lambda，裡面的 x 就等於 (0,0)。landRight 接受一個數值跟 pole，算出來的結果是 Just (0,2) 然後把他餵給另一個 lambda，裡面的 y 就變成了 (0,2)。這樣的操作持續下去，直到最後一隻鳥降落，而得到 Just (2,4) 的結果，這也是整個操作的總結果。

這些 monadic function 的優先順序並不重要，重點是他們的意義。從另一個角度來看這個定律：考慮兩個函數 f 跟 g，將兩個函數組合起來的定義像是這樣：

(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> (a -> c)  
f . g = (\x -> f (g x))

如果 g 的型態是 a -> b 且 f 的型態是 b -> c，我們可以把他們合成一個型態是 a -> c 的新函數。所以中間的參數都有自動帶過。現在假設這兩個函數是 monadic function，也就是說如果他們的回傳值是 monadic function？如果我們有一個函數他的型態是 a -> m b，我們並不能直接把結果丟給另一個型態為 b -> m c 的函數，因為後者只接受型態為 b 的普通值。然而，我們可以用 >>= 來做到我們想要的事。有了 >>=，我們可以合成兩個 monadic function：

(<=<) :: (Monad m) => (b -> m c) -> (a -> m b) -> (a -> m c)  
f <=< g = (\x -> g x >>= f)

所以現在我們可以合成兩個 monadic functions：

ghci> let f x = [x,-x]  
ghci> let g x = [x*3,x*2]  
ghci> let h = f <=< g  
ghci> h 3  
[9,-9,6,-6]

至於這跟結合律有什麼關係呢？當我們把這定律看作是合成的定律，他就只是說了 f <=< (g <=< h) 跟 (f <=< g) <=< h 應該等價。只是他是針對 monad 而已。

如果我們把頭兩個單子律用 <=< 改寫，那 left identity 不過就是說對於每個 monadic function f，f <=< return 跟 f 是等價，而 right identity 說 return <=< f 跟 f 是等價。

如果看看普通函數的情形，就會發現很像，(f . g) . h 等價於 f . (g . h)，f . id 跟 f 等價，且 id . f 等價於 f。

在這一章中，我們檢視了 monad 的基本性質，而且也了解了 Maybe monad 跟 list monad 的運作方式。在下一章，我們會看看其他一些有特色的 monad，我們也會學到如何定義自己的 monad。